La extraña fila de números

Posted in 13 – Matemágicas, Del cero al infinito


Un matemático ideó una vez un rompecabezas de conejos. Era así.

Supongamos que tienes un conejo y una coneja. Todos los meses, tu pareja tiene un conejito y una conejíta. Supongamos que cada pareja de conejitos se hace adulta en dos meses, y que cada mes tiene a su vez una pareja de gazapos! ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un año?

Puedes intentar averiguarlo con facilidad al principio. Primero hay dos conejos.

Al final del primer mes los dos conejos tienen una parejita de gazapos. Ya tenemos cuatro conejos.

Pasado el segundo mes, la primera pareja tiene otros dos gazapos. Ahora tenemos seis conejos.

Al tercer mes las cosas empiezan a complicarse. La primera pareja tiene otros dos conejitos. Eso nos da ocho conejos. Pero ahora ya ha crecido la parejita que nació en el primer mes, y tienen su primera pareja de crías. En conjunto, tenemos diez conejos.

Se complica muchísimo más en el cuarto mes. La primera pareja tiene otros dos conejitos, que hacen un total de doce conejos. La segunda pareja también tiene un nuevo par de crías, lo que suma catorce conejos. Y ahora la pareja nacida en el segundo mes ya ha crecido y tiene un par de conejitos. En el cuarto mes tenemos, en total, dieciséis conejos.

De hecho, hay una manera de averiguar la

respuesta sin seguir contando más parejas de conejos. La respuesta se halla en los primeros cinco números que obtuvimos contando todos los conejos.

Escribe los cinco números —2, 4, 6, 10, 16— en un papel. ¿Ves el secreto?

Si sumas dos números cualesquiera, pero que estén uno al lado del otro, el total es el mismo que el número siguiente. Suma los dos primeros, 2 y 4, y obtendrás el tercer número, el 6. Suma el segundo y el tercer número, el 4 y el 6, y obtendrás el cuarto número, el 10. Suma el tercero y el cuarto número, 6 y 10,

y obtendrás 16, que es el quinto número.

Como ves, para descubrir la solución del problema de los conejos lo único que has de hacer es sumar dos números a la vez. Suma los dos últimos números de la columna el 10 y el 16— y apunta el número que obtengas al final de la columna. Suma ahora los dos últimos números que tienes. Sigue haciendo esta operación hasta que tengas trece números.

El primer número —el 2— es el número de conejos con que empezaste. Los otros doce números —uno por cada mes del año— te muestran los conejos que tenías al final de

cada mes. El último número expresa los conejos que tienes al acabar el año.

Una serie de números de este tipo se denomina secuencia, que significa “grupos de cosas relacionadas entre sí”. El matemático que resolvió el rompecabezas de los conejos descubrió una secuencia de números que es la siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Como ves, la suma de dos números que estén uno al lado del otro es igual al siguiente número. Así, 0 y 1, 1 y 1 son 2, 1 y 2 son 3, y así sucesivamente. Esta secuencia se denomina secuencia de Fibonacci.

Pero veréis que hay algo realmente extraño en la secuencia de Fibonacci. ¡La utiliza la propia naturaleza! Las escamas de las pifias, las hojas de los tallos de los rosales y los pequeños bultitos de la cabeza de las margaritas están dispuestos según la secuencia de Fibonacci.

Por ejemplo, si miras una margarita verás que los bultitos amarillos forman filas curvas denominadas espirales. Unas espirales van hacia la derecha y otras hacia la izquierda.

Si cuentas las espirales que van hacia la izquierda, verás que hay 21. Cuenta las que van hacia la derecha. Verás que hay 34. Y, en la secuencia de Fibonacci, los números 21 y 34 están uno al lado del otro.

Si cuentas las espirales de la pifia tropical verás que 8 van hacia un lado y 13 hacia otro: en la secuencia de Fibonacci, el 8 y el 13 están uno al lado del otro. Cuenta las espirales de la pifia de un pino, y obtendrás los números 5 y 8, que también están uno junto al otro en la secuencia de Fibonacci. Parece que la naturaleza también usa las matemáticas.

El diagrama muestra cómo las protuberancias de la cabeza de un girasol gigante forman 34 espirales que van hacía la Izquierda y 55 hacia la derecha. En la secuencia de Fibonacci, el 34 y el 55 están juntos.

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