Rompecabezas cuadrado

Posted in 13 – Matemágicas, Del punto a la catedral


Hace mucho tiempo, había un granjero cuya finca tenía forma cuadrada. Cada lado del cuadrado medía exactamente cien pasos de largo.

Un día llamó a la casa del granjero un hombre cansado, cubierto de polvo, pidiendo algo de comer. El granjero, que era muy bondadoso, le ofreció un abundante almuerzo.

Una vez que hubo terminado de comer, el forastero dijo estas palabras: “Granjero, yo soy tu rey. Como recompensa por tu bondad al ofrecerme comida, creyendo que yo no era sino un humilde extranjero, te concedo que dobles la extensión de tu finca. Pero cuando hayas añadido el nuevo terreno, tu granja deberá

seguir teniendo la forma de un cuadrado.”

El granjero se puso contentísimo, pues ahora podría sembrar el doble de superficie. Sin pensarlo dos veces, salió a medir su nuevo terreno para poder después cercarlo. Pero en seguida se dio cuenta de que había un problema.

En un principio parecía fácil doblar su cuadrado de terreno. Parecía que, dado que cada lado del cuadrado medía cien pasos de largo, cada lado del nuevo cuadrado habría de medir doscientos pasos de largo, es decir, dos veces la longitud de los anteriores lados. Pero no resultó así. Haciendo que los nuevos lados midieran doscientos pasos no se doblaba su finca, ¡se hacía cuatro veces mayor! Era, de

hecho, tan grande que contenía cuatro cuadrados, cada uno de cuyos lados medía cien pasos de largo.

El granjero se rascó la cabeza. Finalmente, volvió a su casa y cogió lápiz y papel.

Después de mucho pensarlo, se le ocurrió una idea. Dividiría su cuadrado de terreno en cuatro partes más pequeñas. Después, simplemente, añadiría otros cuatro cuadrados del mismo tamaño que los cuatro pequeños que ya tenía. Así obtendría exactamente el doble de terreno de su primer cuadrado.

Primero, intentó añadir los nuevos cuadrados a un lado del suyo anterior. Pero eso no era posible, ya que el resultado era un rectángulo, no un cuadrado.

Luego intentó añadir dos nuevos cuadrados a un lado del anterior y dos al otro lado. Esto casi estaba bien. Pero faltaba un trozo en una esquina, así que no era un cuadrado perfecto.

Y si añadía el pedazo que faltaba, entonces tenía más del doble de su granja.

De nuevo el granjero se rascó la cabeza. Entonces, se le ocurrió otra idea. Dividió su cuadrado en cuatro partes dibujando líneas diagonales. Así el cuadrado quedaba dividido en cuatro triángulos. Si podía añadir cuatro triángulos del mismo tamaño —formando un cuadrado— tendría la solución.

Así pues, añadió un triángulo a un lado de
su cuadrado.

Después agregó otro triángulo a otro lado.

Y los otros dos triángulos, a los otros dos lados del cuadrado.

La figura resultante era un rombo; pero cuando lo hizo girar hacia un lado vio que era un cuadrado. ¡Había resuelto su rompecabezas! Y éste es el modo de doblar el tamaño de un cuadrado y seguir teniendo un cuadrado.

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