El triángulo “mágico”

Posted in 13 – Matemágicas, Del punto a la catedral


Hace miles de años, en el antiguo Egipto, había unos hombres conocidos como “tensadores de sogas”. Su trabajo consistía en marcar los límites de los campos, y los cimientos de las casas, templos y palacios.

Los antiguos egipcios preferían los edificios y los campos cuadrados y rectangulares, con las esquinas perfectamente cuadradas. Pero no

disponían de los instrumentos especiales de medición con que contamos hoy. ¿Cómo crees, pues, que se las arreglaban los tensadores de sogas para trazar las esquinas perfectamente cuadradas ? Pues lo hacían con un triángulo “mágico”.

Para hacer una esquina cuadrada, los tensadores de sogas usaban una soga larga anudada formando un lazo. La soga tenía doce nudos separados entre sí por la misma distancia, como las marcas de una regla.

Lo primero que hacían era clavar una estaca en el suelo en el lugar donde querían hacer una esquina. Allí situaban uno de los nudos de la soga. Después contaban tres nudos y ponían la soga tirante por medio de otra estaca que clavaban a la altura del tercer nudo. Volvían a la estaca del lugar donde querían hacer la esquina, tiraban de la soga y contaban cuatro nudos. Sujetando el cuarto nudo tiraban bien fuerte de la soga para que los tres lados estuvieran tensos. A la altura del cuarto nudo clavaban otra estaca, y ya tenían su triángulo “mágico” con la esquina cuadrada que necesitaban para el triángulo o el edificio.

Lo que habían hecho los tensadores era formar un triángulo rectángulo, esto es, un triángulo que tiene un ángulo recto que forma una esquina cuadrada. El truco estaba en saber en qué nudos debían clavarse las estacas.

Había doce nudos en el lazo de soga. Así que había doce espacios iguales.

A un lado de la esquina había tres espacios, y cuatro al otro lado. Y en el lado opuesto a la esquina había cinco espacios. Así pues, los lados del triángulo tenían una longitud de tres, cuatro y cinco espacios. Y siempre que tengas un triángulo con los lados en esta relación, siempre, será un triángulo rectángulo.

Inténtalo y verás. Corta un trozo de cordel y marca trece espacios con la misma separación entre sí. Pon las dos marcas de los extremos la una sobre la otra; átalas de manera que el cordel forme un lazo, y clava con una chínchela el nudo de unión. Ya tienes un lazo con 12 espacios iguales. Clava la chincheta en un trozo de madera o de cartón. Esta será tu esquina.

Cuenta tres marcas a partir de la esquina. Atraviesa esta marca con una chincheta. Pon bien tirante la cuerda y clávala a la madera. Vuelve a la chincheta de la esquina y cuenta cuatro marcas. Atraviesa esta cuarta marca con otra chincheta. Tira de la cuerda hasta que los tres lados estén tensos. Clava a la madera la chincheta de la cuarta marca. Ya tienes un triángulo “mágico*’.

Los tensadores de sogas egipcios no eran los únicos que sabían hacer un triángulo rectángulo. Gentes de otras partes del mundo también conocían el secreto. Y se empezaron a preguntar por qué siempre resultaba esta manera de hacer un triángulo rectángulo. Una de las personas que meditaban sobre esta cuestión era un antiguo griego llamado Pitágoras, quien construyó docenas y docenas de triángulos rectángulos de distintos tamaños. Y al cuadricular los lados de los triángulos descubrió una cosa muy interesante. Lo que descubrió puede expresarse así:

Como recordarás, para elevar un número al cuadrado se ha de multiplicar por sí mismo.

El triángulo del dibujo tiene lados de 3, 4 y 5 espacios. Al multiplicar 5×5 obtienes 25. Luego, multiplica 4×4; obtendrás 16; y 3 x 3, que son 9. Cuenta los cuadritos que hay junto a cada uno de los lados del triángulo y hallarás 25, 16 y 9. Si sumas ahora los

números obtenidos cuadriculando los dos lados más cortos —9 y 16— obtendrás 25. Así pues, el número de cuadritos que hay junto a los dos lados más cortos del triángulo suman la misma cantidad que el número de cuadritos que hay junto al lado más largo.

De esto Pitágoras extrajo una regla, según la cual en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. El lado más largo tiene un nombre especial. Se llama hipotenusa, o sea “que se extiende por debajo”.

Esto es así en todos los triángulos rectángulos. Por eso los tens adores egipcios siempre obtenían un triángulo rectángulo con su soga anudada. Mientras construyeran los lados de sus triángulos con la relación tres, cuatro y cinco, obtendrían únicamente triángulos rectángulos.

El descubrimiento de Pitágoras puede no parecer muy importante, pero lo es. Su regla ayuda a los ingenieros, matemáticos, astrónomos y a otras personas a resolver muchos problemas.

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